Hola.

Disponemos de n llaves, de las cuales sólo una de ellas abre una
puerta.

La distribución del número de untentos que hay que hacer para abrirla
probando las llaves y reponiéndolas es una geométrica de parámetro 1/
n. Pero ¿y si se van desechando las llaves?.

Probamos con la primera: tenemos probabilidad 1/n de abrir la puerta.
Si no la abrimos, desechamos la llave y probamos con otra: tenemos 1/
(n-1) probabilidades de abrirla.....así hasta que quede sólo una llave
y en el intento n tendremos 1/1 = 1 probabilidades de abrirla. En
general, si X mide el número de intentos para abrir la puerta:

P ( { X = k } ) = 1 / ( n - k + 1 ).

¿Esto es correcto?. Es decir, ¿es esta la función de masa?. Si es así,
¿cuál sería la de distribución, es decir, la acumulativa?. Al ser esta
última el sumatorio de los valores menores iguales que X, me sale
mayor que 1, es decir, P( { X <= n } ) debe ser 1, claramente, pero
sumando P( { X <= r } ) = P( { X = 1 } ) + P( { X = 2 } ) +....P( {X
= r } ) sale mayor que 1. ¿En qué me stoy equivocando?. ¿En que los
sucesos no son disjuntos y no puedo sumarlos tranquilamente?.

Muchas gracias.

conchi wrote:
[..]
>
> ¿Esto es correcto?. Es decir, ¿es esta la función de masa?. Si es así,
> ¿cuál sería la de distribución, es decir, la acumulativa?. Al ser esta
> última el sumatorio de los valores menores iguales que X, me sale
> mayor que 1, es decir, P( { X <= n } ) debe ser 1, claramente, pero
> sumando P( { X <= r } ) = P( { X = 1 } ) + P( { X = 2 } ) +....P( { X
> = r } ) sale mayor que 1. ¿En qué me stoy equivocando?. ¿En que los
> sucesos no son disjuntos y no puedo sumarlos tranquilamente?.
>
> Muchas gracias.

El número medio de intentos será la media de las posiciones de la llave
correcta en las n! posibles ordenaciones de las llaves, que no puede ser
otra que la mediana, (n+1)/2.

On 3 nov, 10:43, conchi <conchi> wrote:
[..]
>
> ¿Esto es correcto?. Es decir, ¿es esta la función de masa?. Si es así,
> ¿cuál sería la de distribución, es decir, la acumulativa?. Al seresta
> última el sumatorio de los valores menores iguales que X, me sale
> mayor que 1, es decir, P( { X <= n } ) debe ser 1, claramente, pero
> sumando P( { X <= r } ) = P( { X = 1 } ) + P( { X = 2 } ) +....P({ X
> = r } ) sale mayor que 1. ¿En qué me stoy equivocando?. ¿En que los
> sucesos no son disjuntos y no puedo sumarlos tranquilamente?.
>
> Muchas gracias.

Hola conchi.

¡¡¡¡Ojo!!!!, estas equivocando los términos. En primer lugar, hallamos
la función de masa. La intuición puede decirnos que tenemos más
probabilidades de acertar a la primera que a la n-ésima vez, pero no
es así. la probabilidad es la misma, 1/n.

La probabilidad de acertar a la primera es 1/n, a la segunda 1/n, a la
tercera 1/n y a la n-ésima 1/n, ¿por qué?. Las formas de ordenar la
llave correcta entre las n posiciones tiene cardinalidad n. Sólo una
es correcta. Por lo tanto 1/n. Quizás lo veamos mejor de la siguiente
forma:

La probabilidad de acertar a la primera: 1/n.
La probabilidad de acertar a la segunda es, la probabilidad de NO
acertar a la primera multiplicado por la probabilidad de SI acertar a
la segunda, es decir (n-1)/n · 1/(n-1) = 1/n
La probabilidad de acertar a la tercera es, la probabilidad de NO
acertar a la primera multiplicado por la probabilidad de NO acertar a
la segunda multiplicado por la probabilidad de SI acertar a la
tercera, es decir (n-1)/n · (n-2)/(n-1) · (1/(n-2) = 1/n

Y así hasta n.

Ahora, la función de distribución si es el sumatorio de las
probabilidades menores o iguales a la que tu quieras, y si suman 1.

La media es la que, como siempre correctamente, ha dicho Ignacio.

Saludos.